Introducció a l’estadística amb R

Estadística descriptiva

Joel Ardiaca

Centre d’Estudis d’Opinió

27 d’octubre del 2026

Què farem?

  1. Estadística descriptiva
    • Variables categòriques
    • Variables numèriques
      • Tendència central
      • Posició
      • Dispersió
      • Forma
  1. Visualització de dades
    • Principis generals
    • Variables categòriques
    • Variables numèriques
  2. Exercici

Treballarem amb les dades netes de l’exercici de la sessió 1: competencies (480 alumnes de 6è).

Què és l’estadística descriptiva?

  • És el primer pas de tota anàlisi estadística
  • Té per objectiu resumir i presentar les dades de manera clara i entenedora
  • Ens ajuda a entendre la distribució i les característiques d’una o més variables
  • Pot incloure:
    • Taules de freqüències
    • Mesures de tendència central i de posició (mitjana, mediana, quartils…)
    • Mesures de dispersió (rang, desviació típica, IQR)
    • Representacions gràfiques

Abans de fer inferències o comparacions, cal conèixer bé què tenim.

Què podem fer segons el tipus de variable?

Tipus de variable Exemples Mesures Gràfics
Nominal Sexe, titularitat del centre Freqüències, proporcions, moda Gràfica de barres
Ordinal Grau d’acord, mida del municipi Freqüències, proporcions (i acumulades) Barres ordenades
Quantitativa discreta Nre. de fills, cursos fets Mitjana, mediana, desviació… Barres o histograma, boxplot
Quantitativa contínua Edat, notes, ingressos Mitjana, mediana, desviació, asimetria… Histograma, boxplot

El tipus de variable determina què podem fer i com ho podem interpretar.

Variables categòriques

Descriure variables categòriques

  • Comptem quants casos hi ha a cada categoria: freqüència absoluta (n) i relativa (%)
  • En variables ordinals, també podem calcular la freqüència acumulada
  • A vegades és útil agrupar categories poc freqüents
  • En variables ordinals, cal respectar l’ordre de les categories (per això els factors!)

Taules de freqüències amb R

competencies |>
  count(habitat)
# A tibble: 3 × 2
  habitat               n
  <fct>             <int>
1 Fins a 10000        101
2 De 10001 a 100000   212
3 Més de 100000       167

Afegim la freqüència relativa amb mutate():

competencies |>
  count(habitat) |>
  mutate(percentatge = n / sum(n) * 100)
# A tibble: 3 × 3
  habitat               n percentatge
  <fct>             <int>       <dbl>
1 Fins a 10000        101        21.0
2 De 10001 a 100000   212        44.2
3 Més de 100000       167        34.8

Freqüència acumulada (variables ordinals)

competencies |>
  count(habitat) |>
  mutate(percentatge = n / sum(n) * 100,
         percentatge_acumulat = cumsum(percentatge))
# A tibble: 3 × 4
  habitat               n percentatge percentatge_acumulat
  <fct>             <int>       <dbl>                <dbl>
1 Fins a 10000        101        21.0                 21.0
2 De 10001 a 100000   212        44.2                 65.2
3 Més de 100000       167        34.8                100


Com que habitat és un factor ordenat, la taula surt en l’ordre correcte i l’acumulat té sentit: el 65 % dels alumnes estudien en municipis de 100.000 habitants o menys.

Variables numèriques

Descriure variables numèriques

Tendència central

  • Mitjana, mediana, moda

Posició

  • Quartils, percentils

Dispersió

  • Rang, desviació típica, interval interquartílic (IQR)

Forma

  • Asimetria, curtosi

Tendència central · Mitjana

  • Suma de tots els valors dividida pel nombre d’observacions: \[\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\]
  • És el centre de gravetat de la distribució
  • Útil si la distribució és simètrica i sense valors atípics
  • Molt sensible als valors extrems (outliers)

Exemple: alçades de 5 persones (cm): 165, 170, 172, 168, 210

alcades <- c(165, 170, 172, 168, 210)
mean(alcades)
[1] 177

La mitjana està influïda per l’alçada extrema de 210 cm.

Tendència central · Mediana

  • Valor central de la distribució ordenada
  • Amb un nombre parell d’observacions: mitjana dels dos valors centrals
  • No es veu afectada per valors extrems: és una mesura robusta

Exemple: alçades ordenades: 165, 168, 170, 172, 210

median(alcades)
[1] 170

Mitjana o mediana?

Codi 
mitjana <- mean(competencies$nota_ang, na.rm = TRUE)
mediana <- median(competencies$nota_ang, na.rm = TRUE)

ggplot(competencies, aes(x = nota_ang)) +
  geom_histogram(binwidth = 5, boundary = 0, fill = bordeus_clar, color = "white") +
  geom_vline(xintercept = mitjana, color = bordeus, linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  geom_vline(xintercept = mediana, color = gris_fosc, linetype = "dotted", linewidth = 1) +
  annotate("text", x = mitjana - 1, y = Inf, vjust = 1.5, hjust = 1, color = bordeus,
           label = paste("Mitjana:", round(mitjana, 1)), size = 5) +
  annotate("text", x = mediana + 1, y = Inf, vjust = 1.5, hjust = 0, color = gris_fosc,
           label = paste("Mediana:", round(mediana, 1)), size = 5) +
  labs(x = "Puntuació d'anglès (0-100)", y = "Nombre d'alumnes")

Les notes d’anglès tenen una cua a l’esquerra (alguns alumnes amb notes molt baixes): la mitjana queda per sota de la mediana.

Tendència central · Moda

  • El valor més freqüent
  • Pot haver-hi més d’una moda, o cap
  • Útil en dades categòriques o discretes; poc informativa en dades contínues
  • R no té una funció per a la moda: la trobem amb count()

Exemple: nombre de cursos fets: 1, 2, 2, 2, 3, 4 → moda = 2

tibble(cursos = c(1, 2, 2, 2, 3, 4)) |>
  count(cursos)
# A tibble: 4 × 2
  cursos     n
   <dbl> <int>
1      1     1
2      2     3
3      3     1
4      4     1

Posició · Quartils i percentils

  • Quartils: divideixen les dades ordenades en 4 parts iguals
    • \(Q_1\): deixa per sota el 25 %
    • \(Q_2\) = mediana (50 %)
    • \(Q_3\): deixa per sota el 75 %
  • Percentils: divideixen les dades en 100 parts
    • \(P_{25} = Q_1\), \(P_{50}\) = mediana, \(P_{75} = Q_3\)
    • Estar al percentil 80 vol dir superar el 80 % de les persones
quantile(competencies$nota_cat,
         na.rm = TRUE)
    0%    25%    50%    75%   100% 
 18.20  64.90  77.75  85.70 100.00 
quantile(competencies$nota_cat,
         probs = c(0.1, 0.9),
         na.rm = TRUE)
  10%   90% 
52.01 91.90

Dispersió

  • Les mesures de tendència central no diuen res sobre la variabilitat
  • Dues variables poden tenir la mateixa mitjana però una dispersió molt diferent
  • Les mesures de dispersió ens informen de com s’escampen els valors

Conèixer només la mitjana pot portar a interpretacions enganyoses.

Dispersió · Desviació típica

  • Mesura la distància mitjana de les dades respecte de la mitjana
  • Petita → dades agrupades al voltant de la mitjana
  • Gran → dades més escampades o amb valors extrems
  • Molt útil, però sensible als outliers

Exemple: si la mitjana d’edat és 40 anys i la desviació típica és 5, la majoria de valors estan entre 35 i 45 anys.

Dispersió · Desviació típica

Codi 
set.seed(123)
dades_sd <- bind_rows(
  tibble(valor = rnorm(10000, sd = 0.5), grup = "Desviació típica = 0,5"),
  tibble(valor = rnorm(10000, sd = 1),   grup = "Desviació típica = 1"),
  tibble(valor = rnorm(10000, sd = 2),   grup = "Desviació típica = 2")
) |>
  mutate(grup = factor(grup, levels = unique(grup)))

ggplot(dades_sd, aes(x = valor)) +
  geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), bins = 60, fill = bordeus_clar, color = "white") +
  geom_vline(xintercept = 0, color = bordeus, linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  facet_wrap(~ grup, ncol = 3) +
  coord_cartesian(xlim = c(-5, 5)) +
  labs(x = NULL, y = "Densitat")

Normals amb mitjana 0 i diferent desviació típica

Dispersió · Com es calcula la desviació típica

\[s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\]

Alçades: 160, 170, 180, 165, 175 → \(\bar{x} = 170\)

\(x_i\) \(x_i - \bar{x}\) \((x_i - \bar{x})^2\)
160 −10 100
170 0 0
180 10 100
165 −5 25
175 5 25
Suma 0 250

\[s = \sqrt{\frac{250}{5 - 1}} = \sqrt{62{,}5} \approx 7{,}91\]

alcades2 <- c(160, 170, 180, 165, 175)
sd(alcades2)
[1] 7.905694

R divideix per \(n-1\) (desviació mostral), que és el que fem servir quan les dades són una mostra. Si fossin tota la població, dividiríem per \(n\): \(\sqrt{250/5} \approx 7{,}07\).

Dispersió · Rang i interval interquartílic

Rang

  • Màxim − mínim
  • Molt senzill, però molt sensible als extrems
range(alcades)
[1] 165 210
max(alcades) - min(alcades)
[1] 45

Interval interquartílic (IQR)

  • \(Q_3 - Q_1\): dispersió del 50 % central de les dades
  • Robust: poc afectat pels extrems
  • És l’alçada de la caixa del boxplot
IQR(alcades)
[1] 4

Tot de cop: summary()

summary(competencies$nota_cat)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.    NA's 
  18.20   64.90   77.75   74.52   85.70  100.00      16

O diverses mesures alhora, a la nostra manera:

competencies |>
  summarise(mitjana = mean(nota_cat, na.rm = TRUE),
            mediana = median(nota_cat, na.rm = TRUE),
            desv_tipica = sd(nota_cat, na.rm = TRUE),
            iqr = IQR(nota_cat, na.rm = TRUE),
            n = n())
# A tibble: 1 × 5
  mitjana mediana desv_tipica   iqr     n
    <dbl>   <dbl>       <dbl> <dbl> <int>
1    74.5    77.8        15.7  20.8   480

summarise() resumeix moltes files en una sola. Hi tornarem a la sessió 3 per comparar grups.

Forma

  • Fins ara: mitjana i desviació típica
  • Però dues distribucions poden tenir la mateixa mitjana i desviació i ser molt diferents

Com ho detectem? Mirant la forma de la distribució:

  • Asimetria: és simètrica o està desplaçada cap a un costat?
  • Curtosi: quant pes tenen les cues (els valors extrems)?

I, sobretot, fent un gràfic!

Forma · Asimetria

  • 0: simètrica (p. ex. normal)
  • Positiva: cua llarga cap a la dreta (valors extrems alts, p. ex. ingressos)
  • Negativa: cua llarga cap a l’esquerra (valors extrems baixos)

\[\text{Asimetria} = \frac{1}{n} \sum \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^3\]

x <- competencies$nota_ang
x <- x[!is.na(x)]
mean(((x - mean(x)) / sd(x))^3)
[1] -0.9925382
Codi 
set.seed(123)
n <- 10000
dades_asim <- bind_rows(
  tibble(valor = as.numeric(scale(rnorm(n))), grup = "Simètrica"),
  tibble(valor = as.numeric(scale(rlnorm(n, sdlog = 0.5))), grup = "Asimetria positiva"),
  tibble(valor = as.numeric(scale(-rlnorm(n, sdlog = 0.5))), grup = "Asimetria negativa")
) |>
  mutate(grup = factor(grup, levels = unique(grup)))

ggplot(dades_asim, aes(x = valor)) +
  geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), bins = 40, fill = bordeus_clar, color = "white") +
  facet_wrap(~ grup, ncol = 1) +
  coord_cartesian(xlim = c(-3, 3)) +
  labs(x = NULL, y = NULL) +
  theme(axis.text.y = element_blank())

Forma · Curtosi

  • Mesura quant pes tenen les cues
  • Una normal té curtosi 3
  • Alta: més valors extrems (més punxeguda)
  • Baixa: distribució més plana

\[\text{Curtosi} = \frac{1}{n} \sum \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^4\]

mean(((x - mean(x)) / sd(x))^4)
[1] 3.312693

Sovint es dona la curtosi centrada (curtosi − 3), per comparar-la directament amb la normal.

Codi 
set.seed(123)
n <- 100000
dades_curt <- bind_rows(
  tibble(valor = as.numeric(scale(runif(n))), grup = "Curtosi baixa (plana)"),
  tibble(valor = as.numeric(scale(rnorm(n))), grup = "Curtosi normal"),
  tibble(valor = as.numeric(scale(rt(n, df = 5))), grup = "Curtosi alta (cues llargues)")
) |>
  mutate(grup = factor(grup, levels = unique(grup)))

ggplot(dades_curt, aes(x = valor)) +
  geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), bins = 60, fill = bordeus_clar, color = "white") +
  facet_wrap(~ grup, ncol = 1) +
  coord_cartesian(xlim = c(-4, 4)) +
  labs(x = NULL, y = NULL) +
  theme(axis.text.y = element_blank())

Visualització de dades

Principis de visualització de dades

L’objectiu d’un gràfic és comunicar la informació de forma clara i intuïtiva.

Bones pràctiques

  • Simplicitat: no sobrecarregar el gràfic
  • Precisió: no distorsionar la informació
  • Context: títols, eixos i fonts clars

Evitar

  • Gràfics en 3D innecessaris
  • Colors estridents o molts estils barrejats
  • Tallar l’eix Y en gràfiques de barres
  • Gràfics de sectors (formatgets)

Exemples

Exemples

Exemples

Exemples

Exemples

Gràfics amb R: ggplot2

Un gràfic de ggplot2 es construeix per capes, unides amb +:

ggplot(dades, aes(x = variable)) +   # 1. Dades i quina variable va a cada eix
  geom_bar() +                       # 2. Tipus de gràfic (geometria)
  labs(x = "Títol de l'eix X",       # 3. Etiquetes
       y = "Títol de l'eix Y")


Gràfic Geometria
Barres geom_bar()
Histograma geom_histogram()
Diagrama de caixa geom_boxplot()
Violí geom_violin()

Atenció: entre capes de ggplot es fa servir +, no |>.

Variables categòriques · Gràfica de barres

  • La millor opció per a variables categòriques
  • Freqüència absoluta o relativa de cada categoria
  • Si són ordinals, respectar l’ordre
  • Ni sectors ni 3D
ggplot(competencies, aes(x = habitat)) +
  geom_bar(fill = bordeus, width = 0.6) +
  labs(x = "Mida del municipi",
       y = "Nombre d'alumnes")

Variables numèriques · Histograma

  • Mostra com es distribueixen els valors
  • Agrupa les observacions en intervals (bins)
  • Permet veure tendència central, dispersió i forma
  • Compte: el nombre d’intervals canvia la forma que veiem!
ggplot(competencies, aes(x = nota_cat)) +
  geom_histogram(binwidth = 5, boundary = 0,
                 fill = bordeus_clar,
                 color = "white") +
  labs(x = "Puntuació de català",
       y = "Nombre d'alumnes")

Histograma · Importància del nombre d’intervals

Codi 
set.seed(12345)
x_bins <- rnorm(1000)
nivells <- c("6 intervals", "25 intervals", "150 intervals")
d6   <- tibble(valor = x_bins, bins = factor("6 intervals",   levels = nivells))
d25  <- tibble(valor = x_bins, bins = factor("25 intervals",  levels = nivells))
d150 <- tibble(valor = x_bins, bins = factor("150 intervals", levels = nivells))
corba <- tibble(valor = rep(seq(-3, 3, length.out = 200), 3),
                bins  = factor(rep(nivells, each = 200), levels = nivells),
                densitat = dnorm(valor))

ggplot(mapping = aes(x = valor, y = after_stat(density))) +
  geom_histogram(data = d6,   bins = 6,   fill = bordeus_clar, color = NA) +
  geom_histogram(data = d25,  bins = 25,  fill = bordeus_clar, color = NA) +
  geom_histogram(data = d150, bins = 150, fill = bordeus_clar, color = NA) +
  geom_line(data = corba, aes(x = valor, y = densitat), color = bordeus, linewidth = 1) +
  facet_wrap(~ bins, ncol = 3) +
  coord_cartesian(xlim = c(-3, 3)) +
  labs(x = NULL, y = "Densitat")

Les mateixes 1.000 dades amb 6, 25 i 150 intervals. La línia és la distribució real.

Variables numèriques · Diagrama de caixa (boxplot)

Representa

  • Mediana (línia central)
  • Quartils \(Q_1\) i \(Q_3\) (la caixa)
  • IQR (l’alçada de la caixa)
  • Bigotis: fins a 1,5 · IQR
  • Outliers: punts més enllà dels bigotis

Detecta asimetria, dispersió i valors atípics

Codi 
set.seed(123)
xb <- c(rnorm(99), 3.5)
q <- quantile(xb, c(0.25, 0.5, 0.75)); iqr <- q[3] - q[1]
bigoti_sup <- max(xb[xb <= q[3] + 1.5 * iqr]); bigoti_inf <- min(xb[xb >= q[1] - 1.5 * iqr])

ggplot(tibble(valor = xb), aes(x = 0, y = valor)) +
  geom_boxplot(fill = bordeus_clar, width = 0.5, outlier.size = 3) +
  annotate("text", x = 0.3, y = c(q, bigoti_sup, bigoti_inf, 3.5),
           label = c("Q1", "Mediana", "Q3", "Bigoti superior", "Bigoti inferior", "Outlier"),
           hjust = 0, size = 5) +
  annotate("segment", x = -0.33, xend = -0.33, y = q[1], yend = q[3],
           arrow = arrow(ends = "both", length = unit(0.1, "in"))) +
  annotate("text", x = -0.37, y = q[2], label = "IQR", angle = 90, size = 5) +
  coord_cartesian(xlim = c(-0.5, 0.8)) +
  labs(x = NULL, y = NULL) +
  theme(axis.text = element_blank(), panel.grid = element_blank())

Boxplot · Dispersió, asimetria i curtosi

Codi 
set.seed(123)
nb <- 200
bind_rows(
  tibble(valor = rnorm(nb, sd = 0.5), tipus = "Dispersió baixa", grup = "Dispersió"),
  tibble(valor = rnorm(nb, sd = 2),   tipus = "Dispersió alta",  grup = "Dispersió"),
  tibble(valor = as.numeric(scale(rlnorm(nb, sdlog = 0.7))),  tipus = "Asim. positiva", grup = "Asimetria"),
  tibble(valor = as.numeric(scale(-rlnorm(nb, sdlog = 0.7))), tipus = "Asim. negativa", grup = "Asimetria"),
  tibble(valor = as.numeric(scale(runif(nb))),       tipus = "Curtosi baixa", grup = "Curtosi"),
  tibble(valor = as.numeric(scale(rt(nb, df = 2))),  tipus = "Curtosi alta",  grup = "Curtosi")
) |>
  mutate(tipus = factor(tipus, levels = unique(tipus)),
         grup = factor(grup, levels = unique(grup))) |>
  ggplot(aes(x = tipus, y = valor)) +
  geom_boxplot(fill = bordeus_clar, width = 0.6) +
  facet_wrap(~ grup, scales = "free_x") +
  labs(x = NULL, y = NULL)

Boxplot i violí amb R

ggplot(competencies,
       aes(x = "", y = nota_cat)) +
  geom_boxplot(fill = bordeus_clar,
               width = 0.4) +
  labs(x = NULL,
       y = "Puntuació de català")

ggplot(competencies,
       aes(x = "", y = nota_cat)) +
  geom_violin(fill = bordeus_clar) +
  geom_boxplot(width = 0.1) +
  labs(x = NULL,
       y = "Puntuació de català")

El violí mostra la densitat; el boxplot del mig, el resum numèric.

Exercici

Exercici de descripció de dades

Objectiu: fer una descripció completa de dues variables de competencies_basiques_net.csv (les dades que vau netejar a la sessió 1).

1. Variable categòrica: habitat

  • Importeu les dades i torneu a convertir habitat en factor ordenat
  • Freqüències absolutes, relatives i acumulades: count() + mutate()
  • Gràfica de barres: geom_bar()

2. Variable numèrica: nota_cat

  • Tendència central, posició i dispersió: summary(), sd(), IQR(), quantile()
  • Forma: asimetria i curtosi
  • Histograma i boxplot: geom_histogram(), geom_boxplot()

Comenteu els resultats en tot moment (amb # a l’script)!